Claudia Stadlmayr beim ZAG-Marathon

Klassifikation schwacher del Pezzo Flächen mit globalen Vektorfeldern

Text: Claudia Stadlmayr

Ein klassisches Resultat in der algebraischen Geometrie besagt, dass eine nicht-degenerierte Fläche im n-dimensionalen projektiven Raum mindestens von Grad (n-1) ist. Nachdem Pasquale del Pezzo 1886 solche "Flächen von minimalem Grad" klassifiziert hatte, studierte er 1887 in seiner Arbeit "Sulle superficie dell nmo ordine immerse nello spazio di n dimensioni" algebraische Flächen vom nächsthöheren Grad n im n-dimensionalen projektiven Raum. Als Hommage an del Pezzos Arbeit werden, etwas allgemeiner, glatte projektive Flächen mit ampler antikanonischer Klasse seither auch "del Pezzo Flächen" genannt. Eine schwächere Form der Bedingung an die antikanonische Klasse ampel zu sein, ist nur "big" und "nef" zu sein, was intuitiv bedeutet, dass die antikanonische Garbe "genügend" globale Schnitte und "gutes" Schnittverhalten mit Kurven aufweist. Solche Flächen werden "schwache del Pezzo Flächen" genannt und können äquivalenterweise auch dadurch charakterisiert werden, dass sie entweder die projektive Ebene, das Produkt der projektiven Geraden mit sich selbst, die zweite Hirzebruchfläche oder eine Aufblasung vom \(\mathbb{P}^2\) in höchstens acht Punkten in fast allgemeiner Lage sind.

Eine naheliegende und natürliche Frage ist es nun, was die Symmetriegruppen solcher Flächen sind. Leider stellt sich diese Frage im Allgemeinen als schwierig heraus, da die Automorphismengruppe zwar eine Untergruppe der planaren Cremonagruppe der birationalen Automorphismen von \(\mathbb{P}^2\) ist, diese jedoch sehr groß sowie teilweise immer noch mysteriös ist und auch das Bild der Einbettung von Aut(X) in der Cremonagruppe schwer zu bestimmen ist. Daher ist es nötig, die Frage nach den Automorphismengruppen solcher Flächen durch eine besser zugängliche zu ersetzen, wofür wir Folgendes beobachten:
Die Automorphismengruppe ist nach einem Resultat von Alexander Grothendieck nicht nur eine abstrakte Gruppe, sondern die Gruppe der Körper-wertigen Punkte des Automorphismenschemas, dessen Zusammenhangskomponente der Identität wir studieren möchten.

Die Schwierigkeiten, die bei der Untersuchung der Automorphismengruppe auftraten, können nun mithilfe "Blanchard's Lemma" für die Bestimmung der zusammenhängenden Automorphismenschemata schwacher del Pezzo Flächen überwunden werden. Dieses Lemma besagt, dass für einen birationalen Morphismus X \(\to\) Y zwischen eigentlichen Schemata über einem Körper das zusammenhängende Automorphismenschema von X als ein abgeschlossenes Unterschema des Automorphismenschemas von Y aufgefasst werden kann. Glücklicherweise kann das Bild dieser abgeschlossenen Einbettung in speziellen Situationen explizit beschrieben werden: Wenn X \(\to\) Y die Aufblasung von Y in einem abgeschlossenen Punkt p von Y ist, kann das zusammenhängende Automorphismenschema von X als das zusammenhängende Stabilisatorenunterschema von p bestimmt werden.

Die Charakterisierung der meisten schwachen del Pezzo Flächen als iterierte Aufblasungen der projektiven Ebene ermöglicht es nun deren zusammenhängende Automorphismenschemata zu bestimmen, indem wir die iterierten Stabilisatorenschemata der aufgeblasenen Punkte berechnen.
Die Bedingung eine Aufblasung der projektiven Ebene in höchstens acht Punkten in fast allgemeiner Lage zu sein, liefert ebenfalls Restriktionen an die Arten von Kurven, die auf schwachen del Pezzo Flächen auftreten können: Was Kurven mit negativem Selbstschnitt angeht, so sind nur (-1)-Kurven und (-2)-Kurven auf schwachen del Pezzo Flächen möglich.

Daher können wir nun alle schwachen del Pezzo Flächen mit nicht-trivialem zusammenhängenden Automorphismenschema (oder äquivalent dazu: mit globalen Vektorfeldern) sowie die Konfigurationen von (-1)- und (-2)-Kurven auf ihnen klassifizieren.

Dies wurde im Artikel "Weak del Pezzo surfaces with global vector fields" über einem algebraisch abgeschlossenen Körper beliebiger Charakteristik ausgeführt und beantwortet damit eine fundamentale und sehr alte Frage, wenn man auf die gesamte Historie des Studiums von del Pezzo Flächen, begonnen 1887, zurückblickt.

Referenz:

• Weak del Pezzo surfaces with global vector fields (with G. Martin), 50 Seiten, 67 Figuren, arXiv:2007.03665