SIAM Student Paper Prize für Jonas Latz
Zur Wohlgestelltheit Bayes'scher Inverser Probleme
Dr. Jonas Latz ist einer von 3 Gewinner*innen des SIAM Student Paper Prize 2020.
Der ehemalige TUM-Student Dr. Jonas Latz erhält den Student Paper Prize 2020 der Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). Der Preis zeichnet jährlich die besten 3 Arbeiten studentischer Autor*innen aus, die von SIAM-Journalen angenommen wurden.
Die Verleihung des SIAM Student Paper Preises ist normalerweise Teil des SIAM Annual Meetings. 2020 findet das Jahrestreffen aufgrund der Corona-Pandemie jedoch online statt – von 6. bis 17. Juli 2020. Die Gewinner erhalten ihre Urkunden per Post. SIAM interviewt alle Preisträger im Jahr 2020 in einem Video.
Well-posedness of Bayesian Inverse Problems
Dr. Jonas Latz erhält den Preis für sein Paper "On the Well-posedness of Bayesian Inverse Problems", das im SIAM/ASA Journal on Uncertainty Quantification 8(1) erschienen ist. In dem Artikel zeigt er die Wohlgestelltheit einer großen Klasse Bayes’scher inverser Probleme.
Wohlgestelltheit bedeutet, dass die Lösung eines Bayes'schen inversen Problems
- existiert,
- eindeutig ist und
- stabil bezüglich marginaler Störungen in den Daten ist.
Was ist ein Inverses Problem? Ein Beispiel
In einem inversen Problem schätzt man unbekannte Modellparameter anhand von Messdaten. Zum Beispiel benötigen Forscher*innen ein Transportmodell, um die Geschwindigkeit radioaktiver Partikel im Grundwasser in der Umgebung eines Atommüll-Endlagers zu bestimmen. Ein wichtiger Parameter dieses Transportmodells ist die Permeabilität, also die Durchlässigkeit des Grundwasserreservoirs, in diesem Gebiet.
Das inverse Problem besteht darin, die Permeabilität anhand von Messungen des Grundwasserdrucks an verschiedenen Stellen des Gebietes zu schätzen. Jedoch sorgen Modellkomplexität, Mangel an Daten und/oder Messfehler in den Daten in diesem und anderen inversen Problemen dafür, dass der Parameter sich nicht eindeutig bestimmen lässt. Es bleibt eine Unsicherheit. Diese wird in einem Bayes’schen inversen Problem bestimmt – mithilfe der Bayes’schen Statistik.
Bayes’sche Inverse Probleme
Bei einem Bayes’schen inversen Problem nehmen Mathematiker*innen an, dass der Parameter – zum Beispiel die Permeabilität – eine Zufallsvariable ist, deren Verteilung das Wissen über den Parameter vor den Messungen beschreibt. Daher heißt diese Verteilung auch A-Priori-Verteilung.
Im Bayes’schen inversen Problem bestimmen sie nun die A-Posteriori-Verteilung des Parameters. Diese bedingt den zufälligen Parameter darauf, dass die Beobachtung der Messdaten so stattgefunden hat – etwa, die Werte des Grundwasserdrucks wurden gemessen. Damit ermöglicht die A-Posteriori-Verteilung Aussagen über den unbekannten Parameter: Der Mittelwert dient als Schätzer für den Parameter, die Varianz repräsentiert die Streuung der Unsicherheit um den Mittelwert.
Wird die A-Posteriori-Permeabilität mit dem Transportmodell kombiniert, lässt sich die Wahrscheinlichkeit abschätzen, mit der ein austretender radioaktiver Partikel durch das Grundwasser innerhalb einer Zeitspanne das nächste bewohnte Gebiet erreicht.
Neue Ergebnisse vereinfachen Anwendungen
Die Resultate von Dr. Jonas Latz sind insbesondere bedeutend für die praktische Anwendung des Bayes'schen Ansatzes: Wohlgestelltheit kann nun häufig gezeigt werden, ohne das zugrundeliegende – oft sehr komplexe – Modell zu analysieren. Dies vereinfacht die Anwendung erheblich. Das Paper erlaubt außerdem andere Distanzbegriffe auf der Menge der Wahrscheinlichkeitsmaße.
Dr. Jonas Latz hat im Dezember 2019 an der TUM Fakultät für Mathematik bei Professor Elisabeth Ullmann promoviert. Seit Januar 2020 ist er Postdoc an der University of Cambridge, Vereinigtes Königreich.