Algebra & algebraische Geometrie

Algebra
Algebra: Die Kummersche Fläche vierter Ordnung hat eine maximale Anzahl von Singularitäten.

 

Algebra schöpft ihre Methoden aus der mathematischen Theorie, Algorithmik und Experiment. In der algebraischen Geometrie erforschen wir Systeme polynomieller Gleichungen. Dabei ist es möglich, diese von zwei Seiten zu betrachten:

  1. vom Standpunkt der kommutativen Algebra. Dabei definieren die Gleichungen ein Ideal in einem (Polynom-)Ring.
  2. anhand eines geometrischen Objektes. Denn die Lösungen der Gleichungen bilden eine algebraische Varietät beziehungsweise ein Schema. 

 

Algebraische Geometrie, kommutative Algebra und algorithmische Algebra

Das Zusammenspiel zwischen Idealen und algebraischen Varietäten ist extrem erfolgreich. Mit dem Beweis seines Nullstellensatzes erstellt der Mathematiker Hilbert 1893 eine Art Wörterbuch für Algebra und Geometrie. In der Mitte des 20. Jahrhunderts formalisert der Mathematiker Grothendieck dieses und begründet damit die Theorie der Schemata. Diese ermöglicht einen einheitlichen Zugang zu Algebra, Geometrie, Zahlentheorie und Topologie. Damit verbindet sie Konzepte aus vielen Bereichen der Mathematik.  

Etwa zur selben Zeit werden Polynomideale und andere Objekte der algebraischen Geometrie der algorithmischen Berechnung zugänglich. Heute sind algorithmische Methoden wichtig in Geometrie, Zahlentheorie sowie Gruppen- und Darstellungstheorie.  

 

Forschungsbereiche

In unserer Arbeitsgruppe Algebra & algebraische Geometrie studieren und lehren wir unter anderem die folgenden Aspekte: 

  • Algebraische Flächen
  • Charakteristik-p-Geometrie
  • Invariantentheorie
  • das Langlandsprogramm
  • Shimuravarietäten
  • Darstellungstheorie

 

Professorinnen und Professoren

 

Relevante Forschungseinheiten