\documentclass{scrartcl}
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\usepackage{fontenc}

\title{Übungsblatt 2 - Mathemodus, Lösungsvorschlag}
\author{Max Muster}
\date{\today}

\DeclareMathOperator{\dx}{dx}

\begin{document}
 \section{Erste Formeln}
	\textbf{Behauptung 1:} $e^{i\varphi}=1$ $\forall \varphi$\\
	\textbf{Beweis 1:}
	\begin{equation}
	\begin{split}
		e^{i\varphi}&=e^{\frac{2\pi  i\varphi}{2\pi}}\\
		&=e^{2\pi i\frac{\varphi}{2\pi}}\\
		&=1^{\frac{\varphi}{2\pi}}\\
		&=1
	\end{split}
	\end{equation}
	
	\textbf{Behauptung 2:} $1=2$\\
	\textbf{Beweis 2:}
	\begin{equation}
		x^2 = x \cdot x = \sum_1^x x
	\end{equation}
	bilde $\frac{\rm d}{\dx}$
	\begin{equation}
	\begin{split}	
		2x &= \sum_1^x 1 = x\\
		2&=1
	\end{split}
	\end{equation}
\section{Gleichungssystem}
	\begin{equation*}
	\begin{array}{cccc|c}
	a   &   b  &   c   &   d   &  \\
	\hline
	1   &   1  &   1   &   1   &  10   \\
	2   &   1  &   1   &   -1  &  3   \\
	0   &   5  &  -2   &   -1  &  0   \\
	1   &   2  &  -1   &   1   &  4   \\
	\hline
	1   &   1  &   1   &   1   &  10   \\
	0   &   -1 &   -1  &   -3  &  -17   \\
	0   &   0  &  -7   &   -6  &  -50   \\
	0   &   0  &   0   & -\frac{3}{7} &  -\frac{12}{7}   \\
	\end{array}
	\ \Rightarrow a=1,\ b=2,\ c=3,\ d=4
	\end{equation*}
\section{Aus einer Versuchsausarbeitung}
      Der effektive Wirkungsgrad $\eta_{\text{eff}}$ ergibt sich aus dem Quotienten von mechanischer Leistung und Heizleistung: \\
	\begin{equation}
		\eta_{\text{eff}}=\frac{P_m}{P_h}=\frac{F\cdot r\cdot 2\cdot \pi\cdot f}{U\cdot I}
	\end{equation} 
      Dementsprechend errechnet sich der Fehler \"uber die Gauss-Fehlerfortpflanzung mit:\\
	\begin{equation}
	\Delta \eta_{\text{eff}}=\sqrt{\Delta F^2\left(\dfrac{\partial \eta_{\text{eff}}}{\partial F}\right)^2 + \Delta f^2\left(\dfrac{\partial \eta_{\text{eff}}}{\partial f}\right)^2 + \Delta U^2\left(\dfrac{\partial \eta_{\text{eff}}}{\partial U}\right)^2 + \Delta I^2\left(\dfrac{\partial \eta_{\text{eff}}}{\partial I}\right)^2}\\
	\end{equation}
      Daraus:\\
	\begin{equation} 
	\Delta \eta_{eff}=2\,\sqrt {{\dfrac {{{\it \text{d}F}}^{2}{{\it fr}}^{4}{\pi }^{2}}{{U}^{2}{i}^{
	2}}}+4\,{\dfrac {{{\it \text{d}fr}}^{2}{F}^{2}{{\it fr}}^{2}{\pi }^{2}}{{U}^{2
	}{i}^{2}}}+{\dfrac {{{\it \text{d}U}}^{2}{F}^{2}{{\it fr}}^{4}{\pi }^{2}}{{U}^
	{4}{i}^{2}}}+{\dfrac {{{\it \text{d}I}}^{2}{F}^{2}{{\it fr}}^{4}{\pi }^{2}}{{U
	}^{2}{i}^{4}}}}\\
	\end{equation}
\section{Schwierigere Formeln}
      Jedem angehenden Mathematiker, Physiker oder Informatiker wird schon zu Beginn beigebracht, z.B. die {\em Summe} von zwei Gr\"o{\ss}en nicht etwa in der Form
	\begin{equation}\label{a}
		1+1=2
	\end{equation}
      darzustellen. Diese Form ist trivial und zeugt von schlechtem Stil. Bereits bekannt ist, dass
	\begin{itemize}
		\item[(i)]$1=\ln e$
		\item[(ii)]$1=\sin^2 x+\cos^2 x$
		\item[(iii)]$2=\sum_{n=0}^\infty\frac1{2^n}$
	\end{itemize}
      gilt. Daher kann Gleichung \eqref{a} viel wissenschaftlicher ausgedr\"uckt werden in der Form
	\begin{equation}\label{b}
		\ln e+(\sin^2 x+\cos^2x)=\sum_{n=0}^\infty\frac1{2^n}
	\end{equation}
      Es ist offensichtlich, dass
	\begin{align}
		e&=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n\\
		2&=\frac4{\sqrt\pi}\int_0^\infty e^{-x^2}\dx
	\end{align}
	
      In Gleichung \eqref{b} eingesetzt ergibt sich trivialerweise
	\begin{equation}
		\ln \left[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n\right]+(\sin^2 x+\cos^2x)=\sum_{n=0}^\infty\frac1{\left(\frac4{\sqrt\pi}\int_0^\infty e^{-x^2}\dx\right)^n}
	\end{equation}
      Man betrachte nun die unit\"are Matrix $A\in\mathbb C^{n\times n}$. Sei
	\begin{equation}
		A=\begin{pmatrix}
			a_{11}&\cdots&a_{1n}\\
			\vdots&&\vdots\\
			a_{n1}&\cdots&a_{nn}
		\end{pmatrix}
	\end{equation}
      Es wird nun verwendet, dass $\bar A^T\cdot A=I_n$ mit
	\begin{equation}
		I_n=\begin{pmatrix}
	1&&0    \\
	&\ddots&\\
	0&&1  
	\end{pmatrix}
	\end{equation}
      Weiterhin gilt
	\begin{equation}
		\left|\det\begin{pmatrix}
	1&&0    \\
	&\ddots&\\
	0&&1  
	\end{pmatrix}\right|=1\quad\Rightarrow \quad |\det(\bar A^T\cdot A)|=1
	\end{equation}
	
      Mit den eben gewonnenen Ergebnissen kann die Formel \eqref{a} nur weiter verbessert werden.
	
	\begin{equation}\label{c}
		\ln \left[\lim_{n\to\infty}\left( |\det(\bar A^T\cdot A)|+\frac1n\right)^n\right]+(\sin^2 x+\cos^2x)=\sum_{n=0}^\infty\frac1{\left(\frac4{\sqrt\pi}\int_0^\infty e^{-x^2}\dx\right)^n}
	\end{equation}
	
      Sp\"atestens jetzt ist klar, dass die Gleichung \eqref{c}
      viel klarer und verst\"andlicher ist als Gleichung \eqref{a}. Der geneigte Leser m\"oge nun selbst die \"ubrigen st\"orenden Symbole durch komplexe Ausdr\"ucke vollst\"andig beseitigen.
\end{document}