\documentclass{scrartcl}

\usepackage{amssymb, amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc}    %[latin1] unter Windows
\DeclareMathOperator{\dx}{dx}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\author{Mein Name}
\title{\LaTeX{} macht Spaß}
\begin{document}
\section{Ein Dokument}
Addition und Multiplikation ($+$, $\cdot$):

\begin{equation*}
20=\overbrace{\underbrace{2+2+2+2+2+2+2}_{=7\cdot 2}+\underbrace{3+3}_{=2\cdot3}}^{=14+6}
\end{equation*}

Eine abschnittsweise definierte Funktion:

\begin{equation*}
f(x)=\left\{
\begin{array}{cl}
1&\text{ f\"ur } x<0\\
0&\text{ f\"ur } x=0\\
-1&\text{ f\"ur } x>0
\end{array}\right.
\end{equation*}

Ausserdem gibt es in der Mathematik
\begin{enumerate}
\item Summen, z.B. $\sum_{k=1}^nx^k/k!$, $x\in\R$ oder auch 
\item Integrale, z.B. $\frac12\int\limits_{-1}^{1} f(x)e^{-inx}\dx$
\end{enumerate}

\section{Tolle Formeln}
Matrizen sind ganz toll. Da gibt es zum Beispiel:

\begin{itemize}
\item Eine Drehmatrix:
\begin{align*}
R=\begin{pmatrix}
\cos\alpha&-\sin\alpha\\
\sin\alpha&\cos\alpha
\end{pmatrix}
\end{align*}

\item noch eine Matrix:
\begin{equation*}
g_{\mu\nu} = 
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\item Tolle Gleichungssysteme
\begin{equation*}
\begin{array}{ccc|c}
a  &  b  &  c  & = \\
\hline
3  &  1  &  8  &  6\\
1  &  1  &  -1 &  10\\
\frac{1}{15} & -\frac{4}{21} & -1 & 1\\
\end{array}
\ \Rightarrow a=5,\ b=7,\ c=-2
\end{equation*}
\item und wir vergessen bestimmt nicht:
\begin{equation*}
\mbox{
\boxed{1+1=2}
}
\end{equation*}
\end{itemize}


 \end{document}