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Thomas Roche Mentor: Prof. Dr. Martin Brokate
Stipendien und Auszeichnungen
In meiner Arbeit beschäftige ich mich mit der Theorie von Hystereseoperatoren. Das sind solche Operatoren, die ein Gedächnis haben, das heißt, bei denen der Wert der Ausgabe zum aktuellen Zeitpunkt nicht nur von der aktuellen Eingabe abhängt, sondern auch von allen vorherigen Eingaben. Als weitere Eigenschaft erfüllen sie die sogenannte Ratenunabhängigkeit, die im wesentlichen besagt, dass bei Veränderung der Eingabegeschwindigkeit, die Geschwindigkeit der Ausgabe sich im gleichen Maß verändert. Solche Operatoren modellieren Phänomene in der Natur, die auch unter dem Begriff Hysterese zusammen gefasst werden. Typischerweise findet man sie in der Kontinuumsmechanik, z.B. bei plastischen Verformungen oder Ferromagnetismus, aber auch in der Biologie. Die mit Hysterese zusammenhängenden Fragestellungen sind aufgrund ihrer Natur immer zeitabhängig. Ein einfaches Beispiel zur Veranschaulichung ist die folgende Situation: Stellen Sie sich vor, Sie legen eine Rosine auf den Tisch. Dann nehmen Sie ein Glas, stellen es auf den Kopf gedreht auf die Rosine. Wie bewegt sich die Rosine, wenn Sie das Glas bewegen? Dieser Vorgang wird durch einen den sogenannten Spieloperator beschrieben. Er einer der grundlegenden Operatoren der in der mathematischen Beschreibung von Hysterese auftreten. Das Gedächtnis dieses Vorgangs kann man ganz einfach erleben, wenn man das Glas einmal in einem Halbkreis nach links von einer Position auf eine andere bewegt und das gleiche mit einem Halbkreis nach rechts macht. Auch wenn das Glas bei der exakt gleichen Position steht, wird die Rosine am Ende nicht an der gleichen Stelle liegen. Eine Fragestellung, mit der ich mich beschäftigen will, sind so genannte implizite Hystereseoperatoren. Hier hängt die Form des Operators vom aktuellen Zustand des Systems ab. Mein Ziel ist es solche Operatoren auf einen Raum unstetiger Funktionen zu verallgemeinern, z.B. Regelfunktionen oder Funktionen von beschränkter Variation. Dieses Problem ist zum einen von theoretischem Interesse, da es nicht klar ist ob und unter welchen Bedingungen solche Operatoren (eindeutig) definierbar sind. Zum Anderen treten in den Anwendungen diese Operatoren oft in Problemen auf, die bereits bei expliziten Operatoren Lösungen mit Sprüngen (also Unstetigkeitsstellen) haben. Um eine sinnvolle mathematische Theorie entwickeln zu können ist es also von entscheidendem Interesse implizite Operatoren auf unstetigen Funktionen definieren zu können. Wissenschaftliche ArbeitenWissenschaftliche Arbeiten
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