Meine Forschungsinteressen liegen auf dem Gebiet der validierten Numerik für dynamische Systeme. Die Grundidee hierbei ist es, Theoreme über die Existenz interessanter dynamischer Phänomeme zu formulieren, deren Voraussetzungen mit Hilfe des Computers überprüft werden können. Das Hauptaugenmerk liegt hierbei auf der Entwicklung von Algorithmen zur rigorosen Berechnung von verbindenden Orbits. Diese bilden ein Gerüst für die Struktur dynamischer Systeme und sind daher von grundlegender Bedeutung. Konkret könnte das dynamische System beispielsweise ein technisches oder biologisches System modellieren. In diesem Fall stehen verbindende Orbits für Übergänge zwischen verschiedenen Gleichgewichtslagen des Systems.

Die theoretischen Grundlagen der Algorithmen entstammen der Topologie, insbesondere der algebraischen Topologie. Zum einen verwende ich den Conley Index, eine Verallgemeinerung des klassischen Morse Index. Das Grundprinzip hierbei ist es, berechenbare diskrete algebraische Größen zu verwenden, um kontinuierliche dynamische Strukturen zu analysieren. Zum anderen bilden klassische Fixpunkttheoreme die Basis meiner Arbeit. Die Logik hierbei ist die Existenz von zum Beispiel verbindenden Orbits in Fixpunktgleichungen geeigneter Abbildungen zu codieren und deren Diskretisierungen zu studieren. In beiden Fällen ist wesentlich, dass die rechnerisch gewonnenen Ergebnisse mathematisch rigorose Rückschlüsse ermöglichen.

Insbesondere interessiere ich mich für dynamische Systeme mit Erhaltungsgrößen. Dazu zählen beispielsweise Hamilton Systeme und durch flächenerhaltende Abbildungen induzierte diskrete dynamische Systeme. Die zusätzliche Struktur dieser Systeme stellt eine Herausforderung dar, da eine komplizierte Mischung aus regulärer und komplexer Dynamik auftritt. Mein Ziel ist es nun, diese Struktur durch rigorose numerische Analysen besser zu verstehen.

• C. Reinhardt, Invariant Manifolds and the Conley Indesx, Bachelor's Thesis, 10/2009.
• C. Reinhardt, Validated computation of heteroclinic orbits for ordinary differential equations, Master's thesis, 2012.
• C. Reinhardt, J.-P. Lessard, J.M. James, Computer assisted proof of saddle-to-saddle connections of first order vector fields, submitted, 2012.