Lehrstühle/Forschungsgebiete
Die Forschung am Lehrstuhl für Mathematische Optimierung behandelt, sehr knapp zusammengefasst, den Themenkreis, wie freie Parameter in einem System so bestimmt werden können, dass sich dieses bezüglich eines gegebenen Gütekriteriums (etwa maximale Leistung, Effizienz, Rendite oder minimale Energie, Kosten) bestmöglich (optimal) verhält. Wichtige Aspekte sind hierbei insbesondere die Charakterisierung solcher optimalen Lösungen und ihre effiziente Berechnung auf dem Computer.
Die Entwicklung, Analyse und Anwendung innovativer Algorithmen zur Lösung sehr großer nichtlinearer Optimierungsprobleme, wie sie bei der Optimierung komplexer Systeme auftreten, bildet einen besonderen Schwerpunkt unserer Forschungsarbeit. Viele unserer Forschungsprojekte sind mit Anwendungen verknüpft, etwa im Rahmen der Formoptimierung und Kontrolle von Flüssigkeitsströmungen, der optimalen CO2 Speicherung im Erdboden, der Bestimmung der Materialeigenschaften des Erdmantels anhand von Erdbebendaten oder der Analyse menschlicher Bewegungen zur Weiterentwicklung kognitiver Roboter.
Der Lehrstuhl ist u.a. beteiligt am Exzellenzcluster CoTeSys, am Munich Centre of Advanced Computing und am DFG Schwerpunktprogramm Regelungstheorie digital vernetzter dynamischer Systeme.
Numerische Simulationsmethodik ist von fundamentaler Bedeutung für Wissenschaft und Technik. Der moderne Begriff des Computational Science umfasst sowohl Aspekte der mathematischen Modellierung, numerischen Analysis sowie von Simulationsalgorithmen auf Höchstleistungsrechnern.
Im Vordergrund unserer Forschungsfelder steht die numerische Simulation partieller Differenzialgleichungen mit Schwerpunkten in Diskretisierungstechniken, Adaptivität, effizienten Lösern und der mathematischen Modellierung gekoppelter Mehrfeldprobleme.
Die Analysis von a priori und a posteriori Abschätzungen für Finite Elemente und Modellreduktionstechniken, die Entwicklung variationell konsistenter diskreter Verfahren für PDGL mit Ungleichungsnebenbedingungen basierend auf Gebietszerlegungstechniken, die Konstruktion skalierbarer iterativer Löser mittels Teilraumkorrekturen und stabilen Splitting-Methoden zählen zu den Kernbereichen des Lehrstuhls.
Unser Arbeitsgebiet lebt von der synergetischen Interaktion mit Ingenieuren, Geowissenschaftlern und Informatikern. Das Anwendungsspektrum der entwickelten Methoden ist vielfältig und reicht von Kontaktproblemen in der Strukturmechanik zu Mehrphasensystemen in porösen Medien.
Das wissenschaftliche Rechnen befasst sich mit modernen numerischen Algorithmen zur Computersimulation großer natur- und ingenieurwissenschaftlicher Probleme. Sie verbindet dabei mathematische Grundlagenforschung über Struktur und Eigenschaften solcher Algorithmen mit interdisziplinären Einsichten aus mathematischer Modellbildung, Analysis, Anwendungswissenschaft und Informatik.
Zu den Forschungsfeldern der Arbeitsgruppe gehört (a) die numerische Behandlung der Dynamik quantenmechanischer Systeme durch geschickte Kopplung analytischer und computergestützter Methoden; (b) die Beschreibung kritischer Phänomene in dynamischen Systemen und Regelungssystemen mittels numerischer Verfahren, welche mit Mengen statt Zahlen operieren; (c) die Entwicklung effizienter Verfahren der digitalen Bildverarbeitung, welche auf kontinuierlichen (analogen) Abstraktionen wie partiellen Differentialgleichungen aufbauen; (d) die hochgenaue Berechnung wahrscheinlichkeitstheoretischer Verteilungsfunktionen, die in Vielteilchensystemen, Wachstumsprozessen und hochdimensionaler Statistik eine Rolle spielen.
Die Arbeitsgruppe arbeitet intensiv mit Kooperationspartnern in der Mathematischen Physik, der Theoretischen Chemie, in den Ingenieurwissenschaften, der Statistik, der Informatik und mit Industriepartner zusammen.
Gegenstand der Mathematischen Statistik ist die Modellierung von zufälligen Phänomenen und die Entwicklung von Methoden und Modelle mit dem Ziel komplexe stochastische Systeme zu beschreiben und zu analysieren. Grundlage der Mathematischen Statistik ist die Wahrscheinlichkeitstheorie.
Unsere Arbeitsgruppe betrachtet ein breites Spektrum von Anwendungen aus
dem Finanz- und Versicherungsbereich, den Lebens- und Ingenieurwissenschaften, einschließlich erneuerbarer Energien.
Dabei setzen wir Schwerpunkte in der Statistik Stochastischer Prozesse und
der Modellierung von räumlichen und zeitlichen Abhängigkeiten. Dabei wird das Extremverhalten (notwendig zur Risikobewertung) untersucht, als auch Copulas wie Vines eingesetzt, um die Abhängigkeitsstruktur zwischen mehreren Faktoren zu
charakterisieren. Hochdimensionale und hochfrequente Datenstrukturen,
sogenannte Big Data, werden bei uns modelliert und analysiert.
Um die Herausforderungen der Forschung in diesen Gebieten zu meistern, ist es notwendig sowohl Grundlagenforschung zu betreiben als auch effektive computergestützte Algorithmen zur statistischen Inferenz zu entwickeln und implementieren.
Unser Lehrstuhl ist auch zuständig für die Aktuarsausbildung und unterhält dazu eine Webseite.
Außerdem ist die Leitung von TUM|Stat, einem TUM-weiten statistischen
Beratungsteam an unserem Lehrstuhl verankert.
Ganz allgemein behandelt die Mathematische Physik Fragestellungen, die mit der mathematischen Beschreibung von physikalischen Prozessen verknüpft sind. Das Themen- und Methodenspektrum ist breit und spiegelt die unfassbare Vielfalt physikalischer Phänomene wider.
Ein großer Teil unserer Arbeitsgruppe beschäftigt sich mit der Analyse von Quantensystemen, sowie der Anwendung von Quanteneffekten in der zukünftigen Informationsverarbeitung und Kommunikationstheorie. Uns interessieren die ungeahnten Möglichkeiten, die die Welt der Quantentheorie hier für uns bereithält.
Weitere Forschungsschwerpunkte in unserer Arbeitsgruppe sind die Wahrscheinlichkeitstheorie, insbesondere Prozesse in zufälligen Medien, interagierende Teilchensysteme und statistische Mechanik, Spin-Gitter, stochastische Vielteilchensysteme und Wachstumsprozesse, Zufallsmatrizen und Schrödinger-Operatoren.
„Das Buch der Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben.“
Galileo Galilei
Galileo Galilei
Mathematische Modelle bilden die Schnittstelle zwischen den vielfältigen Phänomenen der realen Welt und der Mathematik. Wesentliche Aspekte eines zu untersuchenden Sachverhalts werden in die Sprache der Mathematik gefasst und damit zugänglich für eine Behandlung mit mathematischen Methoden. Mathematische Modelle sind somit Bestandteil jedweder Interaktion von Mathematik und Wirklichkeit, ihre Spannbreite reicht von sehr einfachen, in wenigen Worten erklärbaren Situationen bis hin zu hochgradig komplexen Systemen. Mathematische Modellbildung ist an den Lehrstühlen unserer Fakultät vielfach und in unterschiedlicher Ausprägung präsent.
An unserem Lehrstuhl stehen Fragestellungen aus den Bereichen Mechanik und Life Sciences im Vordergrund, auf makroskopischen und mikroskopischen Skalen und überwiegend mit Differentialgleichungen modelliert. Sie werden behandelt mit den Methoden der Analysis, der Numerik und der Optimierung.
Die Analysis bildet zusammen mit der numerischen Simulation die methodische Grundlage der modernen angewandten Mathematik. Ihre Ideen und Methoden reichen auf der einen Seite weit in die Natur- und Ingenieurswissenschaften hinein, und spielen andererseits in theoretischen Zweigen der Mathematik wie Topologie oder Geometrie eine wichtige Rolle.
In unserer Gruppe untersuchen wir konkrete Modelle aus Natur- und Ingenieurswissenschaften, besonders aus den Bereichen Elektronenstruktur, molekulare Mechanik/Moleküldynamik, Kontinuumsmechanik. Unsere Ziele sind typischerweise
- das Verständnis emergenter Phänomene und kollektiver Effekte auf grösseren Längen- und Zeitskalen,
- das Verständnis von Zusammenhängen zwischen Modellen auf verschiedenen Skalen, z.B. rigorose Herleitung reduzierter Modelle, die wesentliche Effekte beibehalten oder sogar klarer hervorbringen.
Dynamische Systeme sind mathematische Modelle für zeitabhängige
Prozesse. Solche Modelle finden vielfältige Anwendungen auf
Evolutionsprozesse in der realen Welt und erlauben Einblicke in
allerlei wissenschaftliche und technische Bereiche.
Die Arbeitsgruppe befasst sich mit der Analyse, Kontrolle und
Optimierung allgemeiner und spezieller dynamischer Systeme. Es
existiert ein teilweiser, jedoch kein ausschließlicher Bezug zur
Analytischen Mechanik. Bereits die einfachsten, nicht-linearen Systeme
können dynamische Phänomene enormer Komplexität erzeugen. Ein
wichtiges Ziel der Arbeitsgruppe ist es, derartige Phänomene zu
entdecken sowie mathematische Konzepte und Methoden zu entwickeln, um
sie qualitativ und quantitativ zu beschreiben. Ferner gilt es
Kriterien für ihr Auftreten sowie Mechanismen zu ihrer Kontrolle zu
finden. Zwei der Forschungsschwerpunkte sind das Studium des
Langzeitverhaltens und die Verzweigungstheorie, bei der die
Abhängigkeit des dynamischen Verhaltens von Systemparametern
untersucht wird.
Des Weiteren liegt ein Schwerpunkt der Arbeitsgruppe in der
Mathematikausbildung für Ingenieure.
Im Zentrum der Forschungsarbeit unseres Lehrstuhls stehen Fragestellungen, die in sehr großen, hoch-dimensionalen Räumen nach Punkten suchen, um in gewissen Zielfunktionen optimale Werte zu erreichen. Diese Suchräume sind typischerweise durch geometrische oder kombinatorische Bedingungen, wie beispielsweise Polyeder, Graphen oder Matroide, beschrieben. Oft besteht die Kunst gerade in dem Zusammenspiel dieser Beschreibungen aus unterschiedlichen Blickwinkeln und Facetten, um die Objekte und ihre charakteristische Struktur besser zu verstehen.
Darauf basierend können wir diese Optimierungsprobleme effizient lösen und damit konkrete Aufgabenstellungen in angewandten Projekten aus so unterschiedlichen Bereichen wie Routenplanung und Scheduling, Chiplayout, Diskreter Tomographie oder Datenanalyse optimal lösen.
Die Geometrie als klassische mathematische Disziplin spielt eine immer wichtigere Rolle in unserer Zeit, in der Computervisualisierungen und große Mengen oft hochdimensionaler Daten allgegenwärtig geworden sind. Sie steht dabei in einem Spannungsfeld, einerseits eine streng formale logische Wissenschaft zu sein, andererseits viele Konzepte in visueller Form vermitteln zu können und zu wollen.
Zu den Aufgaben und Forschungsfeldern der Arbeitsgruppe "Geometrie und Visualisierung" gehört zu wesentlichen Teilen die computergerechte Aufbereitung von geometrischen Konzepten: wie kann man Geometrie so formalisieren, dass sie über weite Teile algorithmisch behandelt werden kann? Die Forschungsfelder umfassen dabei die Grundlagen dynamischer und kinematischer Geometrie, die elegante Verbindung von Geometrie und Topologie mit algebraischen Strukturen, und die elegante Diskretisierung von Strukturen der Differentialgeometrie (also von Kurven und Flächen).
Des Weiteren liegt ein Schwerpunkt der Arbeitsgruppe in der Vermittlung von Mathematik an eine breitere Öffentlichkeit.
Die Arbeitsgruppe betreibt Forschung in Algebra, die ihre Methoden aus dem Wechselspiel zwischen Theorie, Algorithmik und Experiment schöpft. Computergestützte Rechnungen und Experimente fließen in die Theorieentwicklung ein, die ihrerseits für die Algorithmenentwicklung gebraucht wird.
Die Algebra, eigentlich eines der abstrakteren Gebiete der Mathematik, hat sich in der letzten Zeit stark für algorithmische Aspekte geöffnet, und sie hat aktuelle Anwendungen gefunden in wichtigen Gebieten wie Kryptographie.
In der Arbeitsgruppe sind die Themenschwepunkte kommutative Algebra, Gruppen- und Darstellungstheorie, Invariantentheorie, Codierungstheorie und Theorie der Fastkörper vertreten.
Die Biomathematik behandelt Fragestellungen, die mit der mathematischen Beschreibung und der mathematischen Analyse biologischer Strukturen und Prozesse verknüpft sind. Neben der Entwicklung und dem Studium der beschreibenden Modelle gehören hierzu auch Methoden der Analyse von biologischen Bildern und Signalen. Die Arbeitsgruppe ist eng verbunden mit dem Institut für Biomathematik und Biometrie am Helmholtz Zentrum München.
Einen Schwerpunkt bildet die optimierte Modellbildung mit dynamischen Systemen und stochastischen Prozessen in der Zell-Zell-Kommunikation und der Epidemiologie. Ein weiterer Fokus liegt im Bereich der Suche und Analyse von passenden Basisfunktionssystemen und der Approximation mit diesen Basisfunktionen zur Informationsgewinnung aus medizinischen und biologischen Bildern und Signalen.
Finanzmathematik bietet durch die Modellierung von Finanzprodukten und Indikatoren einen Zugang zum stets komplexer werdenden Finanzgeschehen. Modelliert werden etwa Aktienkurse, Zinsinstrumente, Rohstoffpreise, Kredite und Versicherungsprodukte. Deren Verständnis ist unter anderem notwendig zur Bewertung von Derivaten, zur Quantifizierung finanzieller Risiken und zur Berechnung optimaler Anlagestrategien, um einige klassische Themen der Finanzmathematik zu nennen. Die Wahl geeigneter Modelle stellt eine besondere Herausforderungen dar. Sie müssen einerseits flexibel genug sein, um das Verhalten der modellierten Größe, etwa des Aktienkurses, widerzuspiegeln. Andererseits sollte ihre Anwendung mit möglichst geringem technischem Aufwand verbunden sein, um eine Umsetzung in der Praxis zu ermöglichen.
Methodisch nutzt die Finanzmathematik ein sehr breites Repertoire an Techniken aus der Stochastik, Statistik, Numerik, Optimierung und Funktionalanalysis. Die Forschungsschwerpunkte unserer Arbeitsgruppe liegen in der Zinsstrukturmodellierung, der Modellierung und Bewertung exotischer Optionen und komplexer Kreditderivate, dem Risikomanagement und der dynamischen Portfolio Optimierung. Auf technischer Ebene entwickeln wir dabei z.B. neue Methoden zur Lösung partieller Integro-Differentialgleichungen, effizientere Monte-Carlo Simulationsverfahren, neue Modelle basierend auf Lévy Prozessen sowie neue Copulas.
Unsere Arbeitsgruppe ist sehr gut vernetzt mit der Finanzindustrie und federführend beteiligt am Masterstudiengang "Mathematical Finance and Actuarial Science" sowie dem gemeinsamen Elite-Masterstudiengang "Finance and Information Management" der TUM und der Universität Augsburg.
Die Wahrscheinlichkeitstheorie spielt als "Mathematik des Zufalls" eine wichtige Rolle in vielen Anwendungen, hat jedoch auch zahlreiche Verbindungen zu anderen Gebieten der Mathematik wie der Analysis, der Graphentheorie und der mathematischen Physik.
Unsere Arbeitsgruppe beschäftigt sich in erster Linie mit stochastischen Prozessen. Untersucht werden zum Beispiel Irrfahrten, Irrfahrten auf Zufallsgraphen und Irrfahrten in zufälligen Umgebungen als Modell für Transport im inhomogenen Medium, oder Verzweigungsprozesse, die die Entwicklung einer Population beschreiben. Ein Forschungsgebiet sind verzweigende Irrfahrten: dieses Modell kombiniert die zufällige Bewegung von Teilchen mit einer zufälligen Reproduktion und beschreibt damit die räumliche Entwicklung einer zufälligen Population.
Wir interessieren uns ausserdem für interagierende Teilchensysteme (Wählermodell, Isingmodell, Kontaktprozess, Spingläser), ihre Gleichgewichte und ihre Phasenübergänge. Ein weiterer Forschungsschwerpunkt sind Irrfahrten mit Selbstinteraktion, wie zum Beispiel selbstverstärkende und selbstabstossende Irrfahrten. Solche Modelle bieten spannende mathematische Herausforderungen und tragen bei zum Verständnis von selbstverstärkenden Effekten in komplexen biologischen Systemen.
In einer Vielzahl moderner Anwendungen, wie in physikalischen Experimenten und medizinischer Diagnostik, haben wir es mit hochdimensionalen Datensätzen zu tun. Um aus diesen die wesentliche Information zu extrahieren und zu interpretieren, ist die Etablierung eines neuen Fachgebietes der Natur- und Ingenieurwissenschaften vonnöten. Grob gesprochen wollen wir imstande sein, Komplexität zu verstehen, und zu organisieren. Bemerkenswerte Fortschritte in dieser Richtung der modernen Datenanalyse basieren auf der Erkenntnis, dass oftmals nur wenige führende Komponenten zur Beschreibung benötigt werden und dass eine erhebliche Reduktion der Dimensionalität durch die Forderung nach Komprimierbarkeit bzw. Dünnbesetztheit, (englisch "sparse") erreicht werden kann.
In diesem Zusammenhang beschäftigt sich die M15-Einheit mit der Entwicklung von effizienten Algorithmen, die erlauben auch für höherdimensionale Fragestellungen optimale Ergebnisse zu erhalten. Die gewonnenen Werkzeuge werden eingesetzt zur Lösung von partiellen Differenzialgleichungen und von Variationsproblemen. Die Anwendungen reichen dabei von der Bildbearbeitung bis hin zur Materialanalyse, wie z.B. dem Erkennen von Korrosionsstellen und der Identifizierung von Brüchen. Darüberhinaus beschäftigt sich der Lehrstuhl mit Anwendungen in innovativen Gebieten wie dem automatisierten Lernen und der optimalen Steuerung von hochdimensionalen dynamischen Systemen.
Wenn Gase auf sehr hohe Temperaturen erhitzt werden, lösen sich die Elektronen vom Atomkern und dadurch entsteht ein sogenanntes Plasma, das aus einem elektrischgeladen Ionen- und Elektronengas besteht. Plasmen gibt es in großen Mengen im Weltall und auch in einigen Anwendungen auf der Erde, wie beispielsweise Plasmalampen oder -fernseher. Auf dem Weg zur Fusionsenergie wird ein besseren Verständnis der Plasmen und der im Plasma auftretenden Instabilitäten benötigt. Dafür sind mathematische Modelle und deren numerischen Simulation unverzichtbar.
Unsere Arbeitsgruppe ist eng mit dem Bereich Numerische Methoden der Plasmaphysik des Max-Planck-Instituts für Plasmaphysik verbunden. Das Ziel ist die Entwicklung und Analyse von numerischen Verfahren für verschiedene Modelle der Plasmaphysik, kinetische sowie Flüssigkeitsmodelle oder auch Plasma-Wellen-Wechselwirkung. Da solche Modelle, wenn für realistische Probleme angewandt, viel Rechenkapazität benötigen, gilt unser Interesse besonders auch der Implementierung auf Hochleistungsrechnern.
Viele Anwendungsprobleme aus der Physik, der Chemie und den Ingenieurwissenschaften werden durch mathematische Modelle mit Differentialgleichungen beschrieben. Diese Modelle enthalten meist Kontrollgrößen, die von außen beeinflusst (gesteuert) werden können. Das Gebiet der Optimalen Steuerung beschäftigt sich mit der Frage, wie man diese Größen in einer optimalen Art und Weise beeinflusst, um ein vorgegebenes Kostenfunktional zu minimieren oder zu maximieren. Dieses Kostenfunktional kann beispielsweise den Widerstandsbeiwert einer Tragfläche, die Produktionsrate einer chemischen Reaktion oder die Abweichung von einem gewünschten Temperaturverlauf bei einem Abkühlungsprozess beschreiben.
Am Lehrstuhl für Optimalsteuerung beschäftigen wir uns mit der Entwicklung und Analyse effizienter numerischer Verfahren zur Lösung von Optimalsteuerungs- und Parameterschätzungsproblemen mit partiellen Differentialgleichungen. Dies umfasst insbesondere die A-Priori- und A-Posteriori-Fehleranalyse für Finite-Elemente-Diskretisierungen von Optimalsteuerungsproblemen, die Entwicklung angepasster Lösungsalgorithmen für unendlich-dimensionale Optimierungsprobleme sowie Regularisierungsverfahren für inverse Probleme. Die Forschung auf diesem Gebiet basiert wesentlich auf dem Zusammenspiel verschiedener Gebiete der angewandten Mathematik: Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen spielen dabei eine ebenso wichtige Rolle wie Funktionalanalysis, Optimierung und wissenschaftliches Rechnen.
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