Lehrstühle/Forschungsgebiete

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Die Forschung am Lehrstuhl für Mathematische Optimierung behandelt, sehr knapp zusammengefasst, den Themenkreis, wie freie Parameter in einem System so bestimmt werden können, dass sich dieses bezüglich eines gegebenen Gütekriteriums (etwa maximale Leistung, Effizienz, Rendite oder minimale Energie, Kosten) bestmöglich (optimal) verhält. Wichtige Aspekte sind hierbei insbesondere die Charakterisierung solcher optimalen Lösungen und ihre effiziente Berechnung auf dem Computer.

Die Entwicklung, Analyse und Anwendung innovativer Algorithmen zur Lösung sehr großer nichtlinearer Optimierungsprobleme, wie sie bei der Optimierung komplexer Systeme auftreten, bildet einen besonderen Schwerpunkt unserer Forschungsarbeit. Viele unserer Forschungsprojekte sind mit Anwendungen verknüpft, etwa im Rahmen der Formoptimierung und Kontrolle von Flüssigkeitsströmungen, der optimalen CO2 Speicherung im Erdboden, der Bestimmung der Materialeigenschaften des Erdmantels anhand von Erdbebendaten oder der Analyse menschlicher Bewegungen zur Weiterentwicklung kognitiver Roboter.

Der Lehrstuhl ist u.a. beteiligt am Exzellenzcluster CoTeSys, am Munich Centre of Advanced Computing und am DFG Schwerpunktprogramm Regelungstheorie digital vernetzter dynamischer Systeme.

Our research at the department of Mathematical Optimization deals with, very briefly summarized, how free parameters in a system can be determined so that the system behaves in the best possible way (i.e. optimally) with respect to a given quality factor (such as maximum performance, efficiency, yield or minimum energy costs). Aspects of particular importance are the characterization of such optimal solutions and their efficient calculation on the computer.

An important focus of our research is the development, analysis and application of innovative algorithms for the solution of large scale nonlinear optimization problems that arise during the optimization of complex systems. Many of our research projects are connected with applications, such as in the context of shape optimization and control of fluid flows, the optimal storage of CO2 in the ground, the determination of the material properties of the Earth’s mantle on the basis of seismic data or the analysis of human motion to further the development of cognitive robots.

The department is involved, among other things, in the CoTeSys Cluster of Excellence, the Munich Centre of Advanced Computing and the DFG Control Theory of Digitally Networked Dynamical Systems priority program.

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Numerische Simulationsmethodik ist von fundamentaler Bedeutung für Wissenschaft und Technik. Der moderne Begriff des Computational Science umfasst sowohl Aspekte der mathematischen Modellierung, numerischen Analysis sowie von Simulationsalgorithmen auf Höchstleistungsrechnern.

Im Vordergrund unserer Forschungsfelder steht die numerische Simulation partieller Differenzialgleichungen mit Schwerpunkten in Diskretisierungstechniken, Adaptivität, effizienten Lösern und der mathematischen Modellierung gekoppelter Mehrfeldprobleme.

Die Analysis von a priori und a posteriori Abschätzungen für Finite Elemente und Modellreduktionstechniken, die Entwicklung variationell konsistenter diskreter Verfahren für PDGL mit Ungleichungsnebenbedingungen basierend auf Gebietszerlegungstechniken, die Konstruktion skalierbarer iterativer Löser mittels Teilraumkorrekturen und stabilen Splitting-Methoden zählen zu den Kernbereichen des Lehrstuhls.

Unser Arbeitsgebiet lebt von der synergetischen Interaktion mit Ingenieuren, Geowissenschaftlern und Informatikern. Das Anwendungsspektrum der entwickelten Methoden ist vielfältig und reicht von Kontaktproblemen in der Strukturmechanik zu Mehrphasensystemen in porösen Medien.

Numerical simulation methodology is of fundamental importance for science and technology. The modern concept of computational science covers aspects of mathematical modelling and numerical analysis as well as simulation algorithms on supercomputers.

The focus of our research fields is the numerical simulation of partial differential equations with an emphasis on discretization techniques, adaptivity, efficient solvers and the mathematical modelling of coupled multi-field problems. The core areas of the department include the analysis of a priori and a posteriori estimates of finite elements and model reduction techniques, the development of variationally consistent discrete methods for PDE with inequality constraints based on domain decomposition techniques, the construction of scalable iterative solvers using subspace corrections and stable splitting methods.

Our field thrives on the synergistic interaction between engineers, geoscientists and computer scientists. The methods we develop are useful in many fields ranging from contact problems in structural mechanics to multiphase systems in porous media.

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Das wissenschaftliche Rechnen befasst sich mit modernen numerischen Algorithmen zur Computersimulation großer natur- und ingenieurwissenschaftlicher Probleme. Sie verbindet dabei mathematische Grundlagenforschung über Struktur und Eigenschaften solcher Algorithmen mit interdisziplinären Einsichten aus mathematischer Modellbildung, Analysis, Anwendungswissenschaft und Informatik.

Zu den Forschungsfeldern der Arbeitsgruppe gehört (a) die numerische Behandlung der Dynamik quantenmechanischer Systeme durch geschickte Kopplung analytischer und computergestützter Methoden; (b) die Beschreibung kritischer Phänomene in dynamischen Systemen und Regelungssystemen mittels numerischer Verfahren, welche mit Mengen statt Zahlen operieren; (c) die Entwicklung effizienter Verfahren der digitalen Bildverarbeitung, welche auf kontinuierlichen (analogen) Abstraktionen wie partiellen Differentialgleichungen aufbauen; (d) die hochgenaue Berechnung wahrscheinlichkeitstheoretischer Verteilungsfunktionen, die in Vielteilchensystemen, Wachstumsprozessen und hochdimensionaler Statistik eine Rolle spielen.

Die Arbeitsgruppe arbeitet intensiv mit Kooperationspartnern in der Mathematischen Physik, der Theoretischen Chemie, in den Ingenieurwissenschaften, der Statistik, der Informatik und mit Industriepartner zusammen.

Scientific computing is concerned with modern numerical algorithms for the computer simulation of large scientific and engineering problems. It combines mathematical research on the structure and properties of such algorithms with interdisciplinary insights from mathematical modelling, mathematical analysis, applied science and computer science.

The research fields of the team include (a) the numerical treatment of the dynamics of quantum mechanical systems by skilful combination of analytical and computer-assisted methods; (b) the description of critical phenomena in dynamical systems and control systems using numerical methods which operate with sets instead of numbers; (c) the development of efficient procedures for digital image processing based on continuous (analog) abstractions such as partial differential equations; (d) the high-precision computation of theoretical probability distribution functions that play a role in multiparticle systems, growth processes and high-dimensional statistics.

The team collaborates closely with our cooperation partners in mathematical physics, theoretical chemistry, the engineering sciences, statistics, computer science and industry.

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Gegenstand der Mathematischen Statistik ist die Modellierung von zufälligen Phänomenen und die Entwicklung von Methoden und Modelle mit dem Ziel komplexe stochastische Systeme zu beschreiben und zu analysieren. Grundlage der Mathematischen Statistik ist die Wahrscheinlichkeitstheorie.

Unsere Arbeitsgruppe betrachtet ein breites Spektrum von Anwendungen aus dem Finanz- und Versicherungsbereich, den Lebens- und Ingenieurwissenschaften, einschließlich erneuerbarer Energien.

Dabei setzen wir Schwerpunkte in der Statistik Stochastischer Prozesse und der Modellierung von räumlichen und zeitlichen Abhängigkeiten. Dabei wird das Extremverhalten (notwendig zur Risikobewertung) untersucht, als auch Copulas wie Vines eingesetzt, um die Abhängigkeitsstruktur zwischen mehreren Faktoren zu charakterisieren. Hochdimensionale und hochfrequente Datenstrukturen, sogenannte Big Data, werden bei uns modelliert und analysiert.

Um die Herausforderungen der Forschung in diesen Gebieten zu meistern, ist es notwendig sowohl Grundlagenforschung zu betreiben als auch effektive computergestützte Algorithmen zur statistischen Inferenz zu entwickeln und implementieren.

Unser Lehrstuhl ist auch zuständig für die Aktuarsausbildung und unterhält dazu eine Webseite.

Außerdem ist die Leitung von TUM|Stat, einem TUM-weiten statistischen Beratungsteam an unserem Lehrstuhl verankert.

The primary focus of Mathematical Statistics is data based modelling of random phenomena and the development of methods to describe and analyse complex systems. Mathematical Statistics is based on probabilistic concepts. Our group deals with a wide range of applications in finance and insurance, biology, life sciences, earth sciences, and engineering like renewable energy issues.

Research activities of our team concentrate on the development of new statistical methods for stochastic processes as well as for spatial and temporal dependence structures. Among other topics one focus is on extremal behaviour, which is indispensable for risk management. Another focus concentrates on copulas, such as vine copulas. These are used to characterise the dependence structure of the components of a complex system. We model and analyse high dimensional as well as high frequency data structure, often summarised under the acronym of Big Data.

To meet the challenges in these fields, it is necessary to carry out basic research as well as develop and implement computational intensive statistical algorithms.

Our chair is also in charge of the actuarial education at TUM and is maintaining a website with all the essential information to become actuarial professional.

Finally, the chair hosts TUM|Stat, the statistical consulting service at TUM.

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Ganz allgemein behandelt die Mathematische Physik Fragestellungen, die mit der mathematischen Beschreibung von physikalischen Prozessen verknüpft sind. Das Themen- und Methodenspektrum ist breit und spiegelt die unfassbare Vielfalt physikalischer Phänomene wider.

Ein großer Teil unserer Arbeitsgruppe beschäftigt sich mit der Analyse von Quantensystemen, sowie der Anwendung von Quanteneffekten in der zukünftigen Informationsverarbeitung und Kommunikationstheorie. Uns interessieren die ungeahnten Möglichkeiten, die die Welt der Quantentheorie hier für uns bereithält.

Weitere Forschungsschwerpunkte in unserer Arbeitsgruppe sind die Wahrscheinlichkeitstheorie, insbesondere Prozesse in zufälligen Medien, interagierende Teilchensysteme und statistische Mechanik, Spin-Gitter, stochastische Vielteilchensysteme und Wachstumsprozesse, Zufallsmatrizen und Schrödinger-Operatoren.

„Das Buch der Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben.“
  Galileo Galilei

In general mathematical physics deals with questions relating to the mathematical description of physical processes. It has a wide range of topics and methods reflecting the incredible variety of physical phenomena.

A large part of our team is concerned with the analysis of quantum systems, as well as the use of quantum effects in future data processing and communication theory. We are interested in the unimagined possibilities the world of quantum theory has in store for us.

The other research areas of our group include probability theory, in particular processes in random media, interacting particle systems and statistical mechanics, spin-lattices, stochastic many-body systems and growth processes, random matrices and Schrödinger operators.

„The book of nature is written in the language of mathematics.“
  Galileo Galilei

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Mathematische Modelle bilden die Schnittstelle zwischen den vielfältigen Phänomenen der realen Welt und der Mathematik. Wesentliche Aspekte eines zu untersuchenden Sachverhalts werden in die Sprache der Mathematik gefasst und damit zugänglich für eine Behandlung mit mathematischen Methoden. Mathematische Modelle sind somit Bestandteil jedweder Interaktion von Mathematik und Wirklichkeit, ihre Spannbreite reicht von sehr einfachen, in wenigen Worten erklärbaren Situationen bis hin zu hochgradig komplexen Systemen. Mathematische Modellbildung ist an den Lehrstühlen unserer Fakultät vielfach und in unterschiedlicher Ausprägung präsent.

An unserem Lehrstuhl stehen Fragestellungen aus den Bereichen Mechanik und Life Sciences im Vordergrund, auf makroskopischen und mikroskopischen Skalen und überwiegend mit Differentialgleichungen modelliert. Sie werden behandelt mit den Methoden der Analysis, der Numerik und der Optimierung.

Mathematical models form the interface between the manifold phenomena of the real world and mathematics. The essential aspects of a situation to be examined are defined in the language of mathematics and thus are rendered amenable to treatment by mathematical methods. Mathematical models are therefore an integral part of any interaction between mathematics and reality, ranging from the very simple that can be summed up in a few words to highly complex systems. Mathematical modeling is present in different forms and to varying degrees in all the departments of our faculty.

Our team is mainly concerned with questions arising from the fields of mechanics and the life sciences, on both macroscopic and microscopic scales, and predominantly modeled using differential equations. Such questions are handled using the methods of mathematical analysis, numerical analysis and mathematical optimization.

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Die Analysis bildet zusammen mit der numerischen Simulation die methodische Grundlage der modernen angewandten Mathematik. Ihre Ideen und Methoden reichen auf der einen Seite weit in die Natur- und Ingenieurswissenschaften hinein, und spielen andererseits in theoretischen Zweigen der Mathematik wie Topologie oder Geometrie eine wichtige Rolle.

In unserer Gruppe untersuchen wir konkrete Modelle aus Natur- und Ingenieurswissenschaften, besonders aus den Bereichen Elektronenstruktur, molekulare Mechanik/Moleküldynamik, Kontinuumsmechanik. Unsere Ziele sind typischerweise
  1. das Verständnis emergenter Phänomene und kollektiver Effekte auf grösseren Längen- und Zeitskalen,
  2. das Verständnis von Zusammenhängen zwischen Modellen auf verschiedenen Skalen, z.B. rigorose Herleitung reduzierter Modelle, die wesentliche Effekte beibehalten oder sogar klarer hervorbringen.

Ein Markenzeichen unseres Teams ist, dass wir in unseren Projekten nicht nur die analytische Grundlagenarbeit, sondern auch die Übersetzungsarbeit Mathematik ↔ Anwendungswissenschaft wirklich machen, und hierbei eng mit Physikern, Chemikern, Biologen, Materialwissenschaftlern zusammenarbeiten. Unsere mathematische Kern-Expertise sind Variationsrechnung, Funktionalanalysis, partielle Differentialgleichungen, Mehrskalenmethoden; darüber hinaus spielen auch numerische Extraktion von Vorhersagen und Abgleich mit experimentellen Daten eine wichtige Rolle.

Ein wichtiges Anliegen des Lehrstuhls ist die Vermittlung interdisziplinärer Verbindungen zwischen Mathematik und Naturwissenschaften in der Lehre, zum Beispiel im Rahmen des studium naturale.

Analysis constitutes (together with numerical simulation) the methodical basis of most of applied mathematics. Its ideas and methods play an important role in a wide spectrum of fields, ranging all the way from rather applied corners of science and engineering to pretty theoretical branches of mathematics like geometry and topology.

The research of our group focuses on the analysis of concrete mathematical models from science and engineering, typically from electronic structure, molecular mechanics/dynamics, continuum mechanics. Usually we are interested in
  1. understanding emergent phenomena and collective effects which are not obvious from the simple rules specified by the model and appear on much larger length- or timescales,
  2. understanding connections between models, e.g. rigorously reducing models to simpler ones which retain key effects or may even capture them more clearly.

A hallmark of our group is that in our projects we don't just confine ourselves to the required foundational analytical work, but we also carry out the translation work mathematics ↔ underlying area of science, in close collaboration with physicists, chemists, biologists, material scientists. Our mathematical core expertise is in calculus of variations, functional analysis, PDEs, multiscale methods; beyond that, numerical extraction of predictions and validation against experimental data also play an important role.

A key objective of the Analysis Chair is the communication of interdisciplinary connections between mathematics and the sciences in our teaching, for instance within the framework of the studium naturale.

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Dynamische Systeme sind mathematische Modelle für zeitabhängige Prozesse. Solche Modelle finden vielfältige Anwendungen auf Evolutionsprozesse in der realen Welt und erlauben Einblicke in allerlei wissenschaftliche und technische Bereiche.

Die Arbeitsgruppe befasst sich mit der Analyse, Kontrolle und Optimierung allgemeiner und spezieller dynamischer Systeme. Es existiert ein teilweiser, jedoch kein ausschließlicher Bezug zur Analytischen Mechanik. Bereits die einfachsten, nicht-linearen Systeme können dynamische Phänomene enormer Komplexität erzeugen. Ein wichtiges Ziel der Arbeitsgruppe ist es, derartige Phänomene zu entdecken sowie mathematische Konzepte und Methoden zu entwickeln, um sie qualitativ und quantitativ zu beschreiben. Ferner gilt es Kriterien für ihr Auftreten sowie Mechanismen zu ihrer Kontrolle zu finden. Zwei der Forschungsschwerpunkte sind das Studium des Langzeitverhaltens und die Verzweigungstheorie, bei der die Abhängigkeit des dynamischen Verhaltens von Systemparametern untersucht wird.

Des Weiteren liegt ein Schwerpunkt der Arbeitsgruppe in der Mathematikausbildung für Ingenieure.

Dynamical Systems are mathematical models for time-dependent processes. Such models apply to many evolutionary processes in the real world and provide insights into all sorts of scientific and technical fields.

Our team deals with the analysis, control and optimization of general and specific dynamical systems. There exists a partial but by no means exclusive relationship to Analytical Mechanics. Even the simplest non-linear systems can generate phenomena of great complexity. One important goal of our team is to explore such phenomena and to develop mathematical concepts and methods to decribe them qualitatively as well as quantitatively. Moreover, we develop criteria to detect such phenomena in specific examples and mechanisms for their conrol. The mein research focuses include the study of long-term behaviour and of bifurcation theory in which we investigate the dependence of dynamical behaviour on system parameters.

An area of teaching focuses on the mathematical education of engineers.

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Im Zentrum der Forschungsarbeit unseres Lehrstuhls stehen Fragestellungen, die in sehr großen, hoch-dimensionalen Räumen nach Punkten suchen, um in gewissen Zielfunktionen optimale Werte zu erreichen. Diese Suchräume sind typischerweise durch geometrische oder kombinatorische Bedingungen, wie beispielsweise Polyeder, Graphen oder Matroide, beschrieben. Oft besteht die Kunst gerade in dem Zusammenspiel dieser Beschreibungen aus unterschiedlichen Blickwinkeln und Facetten, um die Objekte und ihre charakteristische Struktur besser zu verstehen.

Darauf basierend können wir diese Optimierungsprobleme effizient lösen und damit konkrete Aufgabenstellungen in angewandten Projekten aus so unterschiedlichen Bereichen wie Routenplanung und Scheduling, Chiplayout, Diskreter Tomographie oder Datenanalyse optimal lösen.

The research of our department focuses on issues relating to the search for points in very large, high-dimensional spaces where certain objective functions reach optimal values. These search spaces are typically described by geometric or combinatorial conditions, such as polyhedra, graphs or matroids. Often the key to a better understanding of these objects and their characteristic structures can be found in the interaction of these descriptions from different angles and facets.

On the basis of this improved understanding, we can solve these optimization problems efficiently and thereby solve concrete problems in real-world projects in such diverse fields as route planning and scheduling, chip layout, discrete tomography or data analysis.

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Die Geometrie als klassische mathematische Disziplin spielt eine immer wichtigere Rolle in unserer Zeit, in der Computervisualisierungen und große Mengen oft hochdimensionaler Daten allgegenwärtig geworden sind. Sie steht dabei in einem Spannungsfeld, einerseits eine streng formale logische Wissenschaft zu sein, andererseits viele Konzepte in visueller Form vermitteln zu können und zu wollen.

Zu den Aufgaben und Forschungsfeldern der Arbeitsgruppe "Geometrie und Visualisierung" gehört zu wesentlichen Teilen die computergerechte Aufbereitung von geometrischen Konzepten: wie kann man Geometrie so formalisieren, dass sie über weite Teile algorithmisch behandelt werden kann? Die Forschungsfelder umfassen dabei die Grundlagen dynamischer und kinematischer Geometrie, die elegante Verbindung von Geometrie und Topologie mit algebraischen Strukturen, und die elegante Diskretisierung von Strukturen der Differentialgeometrie (also von Kurven und Flächen).

Des Weiteren liegt ein Schwerpunkt der Arbeitsgruppe in der Vermittlung von Mathematik an eine breitere Öffentlichkeit.

Geometry, besides being one of the classical mathematical disciplines, plays an ever more important role in a modern era in which computer visualizations and large amounts of commonly high-dimensional data have become pervasive. It thus finds itself torn between being a strictly formal logical science, and wanting and being able to convey concepts in visual form.

One of the main tasks and research fields of the research group ‘Geometry and Visualization’ is the computerized reworking of geometrical concepts: How can geometry be formalised so that it can be largely treated algorithmically? The research fields include the principles of dynamic and kinematic geometry, the elegant combination of geometric, topological, and algebraic structures, and the elegant discretization of the structures of differential geometry (i.e., curves and surfaces).

A further priority for the group is the promotion of interest in mathematics for a wider public.

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Die Arbeitsgruppe betreibt Forschung in Algebra, die ihre Methoden aus dem Wechselspiel zwischen Theorie, Algorithmik und Experiment schöpft. Computergestützte Rechnungen und Experimente fließen in die Theorieentwicklung ein, die ihrerseits für die Algorithmenentwicklung gebraucht wird.

Die Algebra, eigentlich eines der abstrakteren Gebiete der Mathematik, hat sich in der letzten Zeit stark für algorithmische Aspekte geöffnet, und sie hat aktuelle Anwendungen gefunden in wichtigen Gebieten wie Kryptographie.

In der Arbeitsgruppe sind die Themenschwepunkte kommutative Algebra, Gruppen- und Darstellungstheorie, Invariantentheorie, Codierungstheorie und Theorie der Fastkörper vertreten.

Our team conducts research in algebra, which draws its methods from the interplay between theory, algorithms and experiment. Computer-based calculations and experiments support the development of theory, which in turn is used for algorithm development.

Algebra, which is really one of the more abstract fields of mathematics, has increasingly involved aspects of algorithms in recent times, and it has found current applications in important areas such as cryptography.

The main research topics of our team are commutative algebra, group and representation theory, invariant theory, coding theory and near-field theory.

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Die Biomathematik behandelt Fragestellungen, die mit der mathematischen Beschreibung und der mathematischen Analyse biologischer Strukturen und Prozesse verknüpft sind. Neben der Entwicklung und dem Studium der beschreibenden Modelle gehören hierzu auch Methoden der Analyse von biologischen Bildern und Signalen. Die Arbeitsgruppe ist eng verbunden mit dem Institut für Biomathematik und Biometrie am Helmholtz Zentrum München.

Einen Schwerpunkt bildet die optimierte Modellbildung mit dynamischen Systemen und stochastischen Prozessen in der Zell-Zell-Kommunikation und der Epidemiologie. Ein weiterer Fokus liegt im Bereich der Suche und Analyse von passenden Basisfunktionssystemen und der Approximation mit diesen Basisfunktionen zur Informationsgewinnung aus medizinischen und biologischen Bildern und Signalen.

Biomathematics deals with questions associated with the mathematical description and mathematical analysis of biological structures and processes. In addition to the development and study of models describing these structures and processes, this involves methods of analysing biological images and signals. The team is closely connected with the Institute of Biomathematics and Biometry at the Helmholtz Centre Munich.

One of our priorities is the improved modelling of cell-cell communication and epidemiology using dynamic systems and stochastic processes. Another priority lies in the search for and analysis of suitable basis function networks and the use of basis function approximations to obtain information from medical and biological images and signals.

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Finanzmathematik bietet durch die Modellierung von Finanzprodukten und Indikatoren einen Zugang zum stets komplexer werdenden Finanzgeschehen. Modelliert werden etwa Aktienkurse, Zinsinstrumente, Rohstoffpreise, Kredite und Versicherungsprodukte. Deren Verständnis ist unter anderem notwendig zur Bewertung von Derivaten, zur Quantifizierung finanzieller Risiken und zur Berechnung optimaler Anlagestrategien, um einige klassische Themen der Finanzmathematik zu nennen. Die Wahl geeigneter Modelle stellt eine besondere Herausforderungen dar. Sie müssen einerseits flexibel genug sein, um das Verhalten der modellierten Größe, etwa des Aktienkurses, widerzuspiegeln. Andererseits sollte ihre Anwendung mit möglichst geringem technischem Aufwand verbunden sein, um eine Umsetzung in der Praxis zu ermöglichen.

Methodisch nutzt die Finanzmathematik ein sehr breites Repertoire an Techniken aus der Stochastik, Statistik, Numerik, Optimierung und Funktionalanalysis. Die Forschungsschwerpunkte unserer Arbeitsgruppe liegen in der Zinsstrukturmodellierung, der Modellierung und Bewertung exotischer Optionen und komplexer Kreditderivate, dem Risikomanagement und der dynamischen Portfolio Optimierung. Auf technischer Ebene entwickeln wir dabei z.B. neue Methoden zur Lösung partieller Integro-Differentialgleichungen, effizientere Monte-Carlo Simulationsverfahren, neue Modelle basierend auf Lévy Prozessen sowie neue Copulas.

Unsere Arbeitsgruppe ist sehr gut vernetzt mit der Finanzindustrie und federführend beteiligt am Masterstudiengang "Mathematical Finance and Actuarial Science" sowie dem gemeinsamen Elite-Masterstudiengang "Finance and Information Management" der TUM und der Universität Augsburg.

The classical questions of mathematical finance are the valuation of derivatives, the quantification of financial risks and the calculation of optimal investment strategies. In order to answer these questions mathematical models are constructed for the various financial products. Examples include stocks, interest rates, commodity prices, loans and insurance damages. The selection of suitable models presents a special challenge. On the one side they must be flexible enough to reflect the behaviour of the modelled quantity, such as the share price. On the other hand their application should require as little technical input as possible to ease their implementation in practice.

Mathematical finance uses a very wide repertoire of techniques from stochastics, statistics, numerical analysis, optimization and functional analysis. The main research focuses of our team are term structure models of interest rates, the modelling and valuation of exotic options and complex credit derivatives, risk management and dynamic portfolio optimization. On a technical level, for example we develop new methods to solve partial integro-differential equations, more efficient Monte-Carlo simulation procedures, new models based on Lévy processes and new copulas. Our group is very well connected with the financial industry and has a leading role in the Master’s program “Mathematical Finance and Actuarial Science” as well as the Elite Master’s program “Finance and Information Management” offered by both TUM and the University of Augsburg.

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Die Wahrscheinlichkeitstheorie spielt als "Mathematik des Zufalls" eine wichtige Rolle in vielen Anwendungen, hat jedoch auch zahlreiche Verbindungen zu anderen Gebieten der Mathematik wie der Analysis, der Graphentheorie und der mathematischen Physik.

Unsere Arbeitsgruppe beschäftigt sich in erster Linie mit stochastischen Prozessen. Untersucht werden zum Beispiel Irrfahrten, Irrfahrten auf Zufallsgraphen und Irrfahrten in zufälligen Umgebungen als Modell für Transport im inhomogenen Medium, oder Verzweigungsprozesse, die die Entwicklung einer Population beschreiben. Ein Forschungsgebiet sind verzweigende Irrfahrten: dieses Modell kombiniert die zufällige Bewegung von Teilchen mit einer zufälligen Reproduktion und beschreibt damit die räumliche Entwicklung einer zufälligen Population.

Wir interessieren uns ausserdem für interagierende Teilchensysteme (Wählermodell, Isingmodell, Kontaktprozess, Spingläser), ihre Gleichgewichte und ihre Phasenübergänge. Ein weiterer Forschungsschwerpunkt sind Irrfahrten mit Selbstinteraktion, wie zum Beispiel selbstverstärkende und selbstabstossende Irrfahrten. Solche Modelle bieten spannende mathematische Herausforderungen und tragen bei zum Verständnis von selbstverstärkenden Effekten in komplexen biologischen Systemen.

As the “mathematics of chance”, probability theory plays an important role in many applications and has numerous links to the other fields of mathematics such as analysis, graph theory and mathematical physics.

Our team is primarily concerned with stochastic processes. For example, we investigate random walks, random walks on random graphs and random walks in random environments as a model for transport in an inhomogeneous medium, and branching processes which describe the evolution of a population. One area of research is branching random walks: this model combines the random motion of particles with a random reproduction in order to describe the spatial evolution of a random population.

We are also interested in interacting particle systems (voter model, Ising model, contact process, spin glasses), their equilibrium and their phase transitions. Another focus of our research is self-interacting random walks, such as self-reinforced and self-repulsive random walks. Such models offer exciting mathematical challenges and contribute to the understanding of self-reinforcing effects in complex biological systems.

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In einer Vielzahl moderner Anwendungen, wie in physikalischen Experimenten und medizinischer Diagnostik, haben wir es mit hochdimensionalen Datensätzen zu tun. Um aus diesen die wesentliche Information zu extrahieren und zu interpretieren, ist die Etablierung eines neuen Fachgebietes der Natur- und Ingenieurwissenschaften vonnöten. Grob gesprochen wollen wir imstande sein, Komplexität zu verstehen, und zu organisieren. Bemerkenswerte Fortschritte in dieser Richtung der modernen Datenanalyse basieren auf der Erkenntnis, dass oftmals nur wenige führende Komponenten zur Beschreibung benötigt werden und dass eine erhebliche Reduktion der Dimensionalität durch die Forderung nach Komprimierbarkeit bzw. Dünnbesetztheit, (englisch "sparse") erreicht werden kann.

In diesem Zusammenhang beschäftigt sich die M15-Einheit mit der Entwicklung von effizienten Algorithmen, die erlauben auch für höherdimensionale Fragestellungen optimale Ergebnisse zu erhalten. Die gewonnenen Werkzeuge werden eingesetzt zur Lösung von partiellen Differenzialgleichungen und von Variationsproblemen. Die Anwendungen reichen dabei von der Bildbearbeitung bis hin zur Materialanalyse, wie z.B. dem Erkennen von Korrosionsstellen und der Identifizierung von Brüchen. Darüberhinaus beschäftigt sich der Lehrstuhl mit Anwendungen in innovativen Gebieten wie dem automatisierten Lernen und der optimalen Steuerung von hochdimensionalen dynamischen Systemen.

In a variety of modern applications, such as in physics experiments and medical diagnostics, we are faced with high-dimensional data sets. In order to extract and interpret the essential information from these sets, it is necessary to establish a new field of the natural and engineering sciences. Generally speaking, we want to be able to understand complexity and organize it. The remarkable progress modern data analysis has seen in this new direction is based on the realization that often only a few leading components are required for the description and that a significant reduction in dimensionality can be achieved by the requirement for compressibility and sparsity.

In this context, the M15 unit deals with the development of efficient algorithms that enable optimal results to be obtained even for higher-dimensional problems. The acquired tools are employed for the solution of partial differential equations and variational problems. The applications range from image processing to material analysis, such as the detection of corrosion sites and the identification of fractures.

In addition, the department is involved in applications in innovative areas like automated learning and the optimal control of high-dimensional dynamical systems.

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Wenn Gase auf sehr hohe Temperaturen erhitzt werden, lösen sich die Elektronen vom Atomkern und dadurch entsteht ein sogenanntes Plasma, das aus einem elektrischgeladen Ionen- und Elektronengas besteht. Plasmen gibt es in großen Mengen im Weltall und auch in einigen Anwendungen auf der Erde, wie beispielsweise Plasmalampen oder -fernseher. Auf dem Weg zur Fusionsenergie wird ein besseren Verständnis der Plasmen und der im Plasma auftretenden Instabilitäten benötigt. Dafür sind mathematische Modelle und deren numerischen Simulation unverzichtbar.

Unsere Arbeitsgruppe ist eng mit dem Bereich Numerische Methoden der Plasmaphysik des Max-Planck-Instituts für Plasmaphysik verbunden. Das Ziel ist die Entwicklung und Analyse von numerischen Verfahren für verschiedene Modelle der Plasmaphysik, kinetische sowie Flüssigkeitsmodelle oder auch Plasma-Wellen-Wechselwirkung. Da solche Modelle, wenn für realistische Probleme angewandt, viel Rechenkapazität benötigen, gilt unser Interesse besonders auch der Implementierung auf Hochleistungsrechnern.

When a gas is heated to a very large temperature, the electrons leave the atom to which they are attached and a globally neutral gas of charge particles is obtained. This is called a plasma. In the whole universe plasmas account for 99% of the visible matter. On earth they are used in many applications like plasma lamps or televisions. The main application for which plasmas are studied is fusion energy, which consists in obtaining energy from the fusion of two light atoms. In order to achieve this a better comprehension of plasmas and their instabilities is necessary. To this aim mathematical models and large scale numerical Simulation is indispensable.

Our group is tightly coupled to the division Numerical Methods for Plasma Physics at the Max-Planck-Institute for Plasma Physics. The research focus lies in the development and analysis of numerical methods for diverse models from plasma physics, including kinetic, fluid models and plasma wave interactions. As these models require a huge computing capacity for realistic problems, we are also devote an important activity on developing and implementing algorithms on high performance computers.

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Viele Anwendungsprobleme aus der Physik, der Chemie und den Ingenieurwissenschaften werden durch mathematische Modelle mit Differentialgleichungen beschrieben. Diese Modelle enthalten meist Kontrollgrößen, die von außen beeinflusst (gesteuert) werden können. Das Gebiet der Optimalen Steuerung beschäftigt sich mit der Frage, wie man diese Größen in einer optimalen Art und Weise beeinflusst, um ein vorgegebenes Kostenfunktional zu minimieren oder zu maximieren. Dieses Kostenfunktional kann beispielsweise den Widerstandsbeiwert einer Tragfläche, die Produktionsrate einer chemischen Reaktion oder die Abweichung von einem gewünschten Temperaturverlauf bei einem Abkühlungsprozess beschreiben.

Am Lehrstuhl für Optimalsteuerung beschäftigen wir uns mit der Entwicklung und Analyse effizienter numerischer Verfahren zur Lösung von Optimalsteuerungs- und Parameterschätzungsproblemen mit partiellen Differentialgleichungen. Dies umfasst insbesondere die A-Priori- und A-Posteriori-Fehleranalyse für Finite-Elemente-Diskretisierungen von Optimalsteuerungsproblemen, die Entwicklung angepasster Lösungsalgorithmen für unendlich-dimensionale Optimierungsprobleme sowie Regularisierungsverfahren für inverse Probleme. Die Forschung auf diesem Gebiet basiert wesentlich auf dem Zusammenspiel verschiedener Gebiete der angewandten Mathematik: Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen spielen dabei eine ebenso wichtige Rolle wie Funktionalanalysis, Optimierung und wissenschaftliches Rechnen.

Mathematical models of many applications from physics, chemistry and engineering are described by differential equations. Often, these models contain control variables to influence the underlying process. The area of optimal control is concerned with the task to choose the controls in such a way that a given optimization goal, expressed by means of a cost functional, is obtained. This cost functional can for instance describe the drag coefficient of an airfoil, the production rate of a chemical reaction, or the deviation from a desired temperature profile during a cooling process.

At the Chair of Optimal Control we develop and analyze efficient numerical algorithms for the solution of optimal control and parameter estimation problems with partial differential equations. This includes in particular the a priori and a posteriori error analysis for the finite element discretization of optimal control problems, the development of taylored solution algorithms for infinite-dimensional optimization problems, and the design of regularization strategies for inverse problems. Research in this mathematical field is essentially based on the interplay between several disciplines of applied mathematics: theory and numerics of partial differential equations, functional analysis, optimization as well as scientific computing play an equally important role.















 

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