Studentische Forschung an der Fakultät für Mathematik


Optimale Gestaltung von Strukturen elastischer Materialien durch die Topologieoptimierung mit Gewichtungsoperatoren

Doktorarbeit von Nicholas Drude, WS 2011/12
Betreuer: Prof. Dr. Jürgen Scheurle

Ein Hauptbestandteil der Fertigungstechnik ist das Umformen. Ein Umformwerkzeug ist ein Werkzeug, welches in der Fertigung die Form, jedoch nicht die Masse eines festen Körpers ändert. Es gibt zahlreiche Anwendungsgebiete, ein bedeutendes ist die Fertigung von Karosseriebauteilen.

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Abbildung 1: Wirkfläche (oben) und Verrippung (unten) eines Umformwerkzeugs zur Fertigung eines Seitenrahmens eines PKWs
Doch nach welchen Richtlinien sollen große Umformwerkzeuge konstruiert werden, um eine möglichst optimale Nutzbarkeit zu erreichen? Diese Fragestellung beschäftigt nicht mehr nur Ingenieure. In den vergangenen Jahren ist die optimale Gestaltung von Strukturen ein aktives und bedeutendes Feld der mathematischen Forschung geworden.

Zielsetzungen der optimalen Gestaltung von Umformwerkzeugen sind vielfältig und komplex: Umformwerkzeuge müssen den an sie gestellten mechanischen Anforderungen genügen, d.h. sie müssen unter Einhaltung einer vorgegebenen Gewichtsschranke eine möglichst hohe Stei gkeit bzw. eine möglichst geringe Nachgiebigkeit aufweisen. Damit liegt bereits ein mathematisches Optimierungsproblem vor. Weiterhin muss die Gestalt eines Umformwerkzeuges so bescha ffen sein, dass seine Anfertigung möglich ist. Schließlich dürfen die aus dem Gießvorgang zur Anfertigung des Umformwerkzeugs resultierenden Auswirkungen auf die Bauteileigenschaften nicht so sein, dass die Verwendbarkeit des Umformwerkzeuges gefährdet oder gar unmöglich ist. Diese Zielsetzungen geben die Struktur meiner Arbeit vor.

Zunächst entwickle und analysiere ich ein mathematisches Modell, mit dem elastische Strukturen hinsichtlich ihrer mechanischen und gießtechnischen Eigenschaften sowie ihrer Fertigungsgerechtigkeit optimiert werden können. Konkret wird das SIMP-Modell, ein Standardverfahren zur Strukturoptimierung, durch das Konzept der Gewichtungsoperatoren erweitert. Dadurch gelingt es, auch gießtechnische Zielsetzungen in die Optimierung einzubeziehen. Ferner entwickele und analysiere ich einen Algorithmus, mit dem entsprechende hochdimensionale Probleme effizient behandelt werden können. Als Anwendungsbeispiel erfolgt schließlich die Optimierung der Verrippung der wirkflächenabgewandten Seite für eine Klasse von Umformwerkzeugen sowie der Vergleich mit konventionell gestalteten Verrippungen.

Es stellt sich heraus, dass strukturoptimierte Umformwerkzeuge konventionell verrippten Umformwerkzeugen mechanisch stets deutlich überlegen sind. In Abbildung 2 ist dies anhand der wesentlich homogeneren Wirkflächendurchbiegung zu erkennen, die hier nicht dargestellte Nachgiebigkeit ist üblicherweise auch bedeutend geringer. Überdies sind mechanisch-gießtechnisch optimierte Umformwerkzeuge den rein mechanisch optimierten in ihren gießtechnischen Eigenschaften deutlich überlegen und erreichen das bereits gute Niveau der konventionell verrippten Umformwerkzeuge.

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Abbildung 2 (links): Gießtechnische Bewertung (links) und Wirkflächendurchbiegung (rechts) von exemplarisch ausgewählten Umformwerkzeugen, auf deren Wirkfläche jeweils ein homogener Druck von 5MPa ausgeübt wird. Jeweils oben wird ein konventionell verripptes Umformwerkzeug dargestellt und in der Mitte ein mit Hilfe des SIMP-Modells rein mechanisch optimiertes Umformwerkzeug. Jeweils unten wird ein mit Hilfe des Konzepts der Gewichtungsoperatoren mechanisch-gießtechnisch optimiertes Umformwerkzeug dargestellt.

Zur vollständigen Doktorarbeit von Nicholas Drude hier (mediaTUM).

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Steckbrief des Autors

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  • Nicholas Carsten Drude
  • Studium der Finanz- und Wirtschaftsmathematik an der TUM von WS 2000/01 bis SS 2006
  • Promotion an der Fakultät für Mathematik von WS 2006/07 bis WS 2011/12
  • Seitdem: angestellt bei KPMG im Bereich Advisory - Financial Risk Management
 

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